Vague mathématique

Qu’est-ce qui peut troubler un train de vagues ?

Apparemment, la vague peut-être décrite par une équation mathématique. (Avec beaucoup d’approximations.) De ce fait, ces mêmes mathématiques peuvent être appliquées pour comprendre son extinction. Il en ressort une conclusion curieuse : le phénomène est, en quelque-sorte, périodique, de zéro à l’infini.

Application pratique ? En tous cas, ce qui m’intéresse ici est l’évolution du mathématicien. J’ai le sentiment qu’il se rebiffe. Il défend une vision des mathématiques qui eut un grand succès : les mathématiques qui expliquent la nature.

Mais, il est méconnaissable. Hier, il était Euler ou Gauss : son esprit semblait dominer le monde. Aujourd’hui, il est artisan isolé. Seul dans son coin, il se prend de passion pour une question bizarre pour laquelle il développe des outils complexes, et obtient des résultats curieux.

Les mathématiques sont devenues arts de l’ingénieur. On bricole. Quand on bute sur un problème, on se demande si quelqu’artisan isolé, incompréhensible par ailleurs, n’aurait pas quelque-chose à lui apporter. Et, de proche en proche, on finit par résoudre la question.

Bulle artificielle

Biais de confirmation ? Je pense, depuis toujours, que l’intelligence artificielle, qui est un bricolage infecte, n’a rien de scientifique, et d’efficace et que l’application des mathématiques, sous leur forme algorithmique, pourrait à la fois améliorer ses performances et, surtout, réduire radicalement ses coûts, consommation d’énergie et besoin de capacité de calcul.

Il semblerait que ce soit ce que l’on constate. Les Chinois ont compensé le manque de processeurs sophistiqués par l’intelligence humaine…

Tech stocks fall sharply as China’s DeepSeek sows doubts about AI spending.

Tech stocks fell sharply on Monday as advances by Chinese artificial intelligence start-up DeepSeek cast doubt on whether the US could sustain its leadership in AI by spending billions of dollars on chips.

Financial times du 27 janvier.

Michel Talagrand

Michel Talagrand, cet inconnu. J’ai découvert il y a déjà quelques temps qu’il avait gagné le prix Abel. Le prix qui veut être le Nobel des mathématiques.

Choix et prix qui réconcilient avec les mathématiques ? On a là un homme modeste, qui n’est pas normalien, ce qui est quasi unique, et qui a patiemment défriché un champ entier des mathématiques. La question des processus aléatoires, que j’ai entraperçue lors de mes débuts dans « l’ingéniérie du contrôle » (aussi appelée « automatique »).

Utile prix Abel ? La médaille Fields qui était supposée, elle aussi, être le Nobel des mathématiques, semble surtout reconnaître des exploits sans lendemain, voire donner à des Villani des complexes de supériorité infondés.

Mathématiques modernes

Théorème de mathématique (Quanta). Apparemment ce qu’il faut démontrer est d’une simplicité quelque peu ridicule.

Mais, que la démonstration est douloureuse !

Cela ressemble de plus en plus à la mise au point d’un processus industriel. C’est du bricolage. De l’essai et de l’erreur, interminable, à l’aveugle. On tente des techniques qui viennent de droite et de gauche. Et, de manière amusante, certaines démonstrations sont tellement bizarres, que personne ne les comprend. D’ailleurs, il y a l’air d’y avoir désormais une telle spécialisation que le nombre de personnes par spécialité doit être infime.

Qui veut être plombier ? Mathématiques : menace de « pénurie RH » ?

Petite histoire des mathématiques

J’ai découvert la « petite histoire des mathématiques » de BBC 4. Elle est racontée par Marcus du Sautoy (sotoille), un mathématicien local.

Il a choisi de présenter en une dizaine de minutes la vie de quelques mathématiciens de ces trois derniers siècles. Il ne parle pas de mathématiques, mais de l’application, surprenante, des mathématiques pures à notre vie, généralement plusieurs siècles après une découverte, et à la progressive construction de la rigueur mathématique actuelle.

Ainsi Gauss invente les statistiques, sans lesquelles nous ne saurions rien faire, Fourier décrit les ondes, Euler, la théorie des graphes, fondation d’Internet, Galois, des groupes qui ont révélé la structure des particules élémentaires, Gauss et Riemann, la géométrie non euclidienne, qui rend possible la relativité d’Einstein (bien moins malin qu’on ne le dit !), et, plus curieusement, Cantor, dont les travaux sur les infinis auraient permis à Lord Penrose d’affirmer, dans les années 80, que l’intelligence artificielle n’était pas du même ordre que notre intelligence, et ne pourrait jamais la remplacer. (Question à examiner !)

En sera-t-il toujours comme cela, comme le pense Marcus du Sautoy ? La géométrie algébrique de Bourbaki trouvera-t-elle son application dans trois siècles ? J’ai tendance à penser que ce ne sera pas le cas. Les rendements des mathématiques sont décroissants. Les découvertes sont de plus en plus modestes. Et l’esprit d’exploration n’est plus là. L’histoire des mathématiques pourrait bien être finie.

Euclide

Euclide a-t-il vécu ? On n’a pas d’information sur lui. Mais il a inventé les mathématiques, telles qu’on les pratique aujourd’hui. Ses « éléments » ont servi de livre de cours jusqu’au début du vingtième siècle.

Génie ou homme de son temps ? Il semble avoir assemblé des travaux antérieurs. Mais, surtout, ce qu’on lui doit, c’est le raisonnement et la preuve. Et cela correspond à l’émergence de la cité, de la « politique ». La cité a besoin de lois. Euclide ou « in the mood for laws » ?

Ce qui semble conforter une des idées qui apparaît dans ce blog : l’invention est le fruit des circonstances sociales.

(In our time, de la BBC)

(Quant aux démonstration d’Euclide, elles sont très différentes de ce qui se pratique aujourd’hui. Elles sont géométriques. Par exemple, le théorème de Pythagore ne se dit pas a2 + b2 = c2, mais la somme des surfaces des carrés de côté a et b égale la surface du carré de côté c. Ce qui conduit à des démonstrations dont on a perdu l’habitude. L’algèbre a été inventée par les Arabes.)

La nature est elle mathématique ?

Le langage de l’univers est mathématique, aurait dit Galilée. In our time de la BBC se demandait si c’était juste.

L’émission en est arrivée à une question que ne s’est jamais posée l’Education nationale, me suis-je dit. Are mathematics invented or discovered ? Sont-elles une création de l’esprit humain, ou lois de la nature.

Le sentiment que j’ai retiré de ma formation est que notre culture française est intimement convaincue que les mathématiques sont « découvertes ». Et que l’on devrait avoir honte qu’elles ne soient pas des évidences. Je pense maintenant qu’il faudrait interroger cette certitude.

Un autre point curieux que soulevait l’émission est, qu’originellement, les mathématiques étaient une religion. On prêtait des propriétés surprenantes aux nombres. La capacité de l’homme à construire des systèmes de pensée foireux, et à les croire, est stupéfiante.

Quant à la réponse à la question initiale, elle n’a rien de simple. L’émission disait que, pour que le monde soit, il a besoin d’un minimum d’ordre et de structure, et que c’est ce que saisissent les mathématiques. En fait toute la raison humaine semble de ce type, je crois. Nous brassons des concepts, comme la justice ou la démocratie par exemple, qui sont évidemment utiles, mais qui nous fuient dès que nous voulons les définir précisément et que personne ne comprend vraiment de la même façon.

J’en arrive aussi à penser que la raison tend à nous faire creuser le même sillon et que l’on a besoin d’un peu de folie pour en sortir. Ce que je crois le rôle de l’esthétique.

Sauver les mathématiques

Et si la destruction des mathématiques était volontaire ? me suis-je demandé. (Cf. un billet précédent.) Mes arguments :

Les mathématiques ont été vues comme un outil, impartial, de sélection. Le meilleur moyen d’éviter la reproduction sociale.
Ce n’était pas parfait, comme l’a dit le bon M.Bourdieu, mais c’était bien mieux que ce que l’on a aujourd’hui.
L’élite est maintenant littéraire (au sens médiocre du terme). Et si elle faisait payer au système les souffrances qu’elle lui a fait endurer ? A commencer par la difficulté qu’elle avait à se reproduire ?

Alors, si l’on veut avoir des mathématiciens, ne faudrait-il pas décréter qu’il s’agit d’un art simplement pratique ? Un art pour bricoleur, pour ingénieur, au sens anglais du terme ? Pas un test de QI ?

Growth mindset

Pourquoi la France est-elle mauvaise en mathématiques ? Parce que le Français pense que les mathématiques sont un test d’intelligence, et que l’intelligence est figée.

Etudier les mathématiques nous fait courir le risque de montrer au monde, et surtout à nous-mêmes, les limites de notre intelligence ?

Les nations qui réussissent en mathématiques sont convaincues que l’intelligence se cultive. « Growth mindset » en anglais.

« Les élèves animés de cet état d’esprit de croissance ne considèrent pas les maths comme une question de talent, mais d’effort et d’apprentissage. »

(Tiré d’Actuariel n°48. Suite de l’article précédent.)

Mathématiques : déclin et raison

Article d’Actuariel (numéro 48) : pourquoi la France est-elle devenue si mauvaise en mathématiques ?

L’article rappelle, ce que l’on oublie, que les mathématiques sont avant tout un enjeu de prospérité économique. Nous avons intérêt, et même de plus en plus intérêt, à avoir des mathématiciens.

Etrange. Nous fûmes fiers de nos mathématiciens. Les mathématiques étaient la discipline de l’élite. Et maintenant nous sommes les cancres du monde développé. Et nous cherchons, pour relever la tête, à nous inspirer de pays que, hier, nous aurions ignorés (la Corée, l’Estonie : où est-ce ?).

Mais en pure perte. La dernière réforme du gouvernement Macron a eu un effet désastreux. En particulier elle a découragé les filles de s’intéresser au sujet ! L’exact envers de l’effet recherché.

Serait-ce là le noeud du problème ? L’article se conclut ainsi :

« « Au Japon tout est planifié sur 15 ans : des groupes de réflexion se penchent sur le sujet pendant 3 ans, la réforme est mise en oeuvre dans des établissements pilotes pendant deux ans. Une première évaluation est ensuite menée, suivie d’ajustements, avant une généralisation », rapporte Mélanie Gervais. Et de regretter : « En France nous sommes les champions du monde des enchaînement des réformes sans aucune évaluation indépendante et rigoureuse ».«