Curieusement, les raisonnements des ouvrages de math étrangers que j’ai pu voir ne semblent pas tout à fait les mêmes que les nôtres. C’est aussi vrai en ce qui concerne nos mathématiques telles qu’on les pratiquait jadis. Par exemple, les questions du concours général d’il y a un siècle ou un peu plus, ne me sont pas compréhensibles (c’est de la géométrie, d’ailleurs). Un livre de cours ayant appartenu à mon père ne fait pas de démonstration, mais prend des cas particuliers, « aisément généralisables ». 

Lorsque je lis ce qui s’écrit sur de nouveaux travaux en mathématiques, j’ai l’impression que la communauté des mathématiciens dit : « c’est peut être juste, mais on n’y comprend rien ! ». Puis, quelqu’un explique la démonstration, ou en trouve une autre. Les critiques s’épuisent faute de combattants. La propriété est considérée démontrée. 

Un raisonnement mathématique ne serait-il autre chose qu’une euristique, culturelle, qui nous permet d’être raisonnablement sûr que l’on n’a rien raté d’important ? Le mathématicien aurait-il une forme d’empirisme particulier ? Si c’était le cas, cela pourrait remettre en piste tous ces élèves qui cherchent un sens aux mathématiques ? Un professeur de Marcel Pagnol disait à ses élèves littéraires :

« La circonférence est fière. 

D’être égale à deux pi R ; 

Et le cercle est tout joyeux. 

D’être égal à pi R deux. » »

D’après un théoricien, il n’y aurait pas de nombre réels dans la nature (c’est à dire de nombres avec une infinité de décimales – plus exactement il n’y a pas de nombre ayant une succession de chiffres aléatoire).

La raison en serait que ce type de nombre demanderait une énergie infinie à la nature. La précision des nombres grandirait au cours du temps.

En conséquence, la nature ferait l’équivalent des erreurs d’arrondi des ordinateurs, qui, eux aussi, ne peuvent pas manipuler des nombres infinis. Cela rend le monde chaotique. Un petit écart microscopique est amplifié en un phénomène macroscopique.

Du coup, cela permettrait peut être de rapprocher la théorie de la pratique. Avec les nombres réels, la physique est déterministe et n’a pas de temps qui s’écoule dans un sens. En outre, il y a une différence que l’on n’arrive pas à combler entre la relativité et la théorie quantique.

Les physiciens essaieraient-ils, plutôt que nous imposer des abstractions, de revenir sur Terre ?

(Article de Quanta.)

J’ai cru comprendre que le physicien Etienne Klein pensait que l’univers était mathématique. Sans cela comment expliquer que notre physique, mathématique, soit aussi efficace ?

Mes premiers pas dans le métier d’ingénieur m’ont démontré que les mathématiques sont incapables de résoudre les problèmes pratiques les plus simples. Mes problèmes d’ingénieur n’ayant pas d’intérêt, voici l’exemple des marées. La modélisation mathématique donne une idée grossière du phénomène. Mais, dès que l’on veut en tirer quelque-chose d’utile, on a recours à l’empirisme le plus brutal. Idem pour l’arc en ciel. Idem pour tout. Pire, plus l’on cherche le détail, plus les mathématiques semblent y perdre leur latin.

Cela signifie peut-être que notre esprit est mathématique et qu’il est plus ou moins adapté à son environnement. De même, un bateau est plus ou moins adapté à la mer, sans que la vue d’un bateau ne nous renseigne parfaitement sur la mer et sur tous les moyens de s’y déplacer.

La loi normale, ou de Gauss, ou de Laplace-Gauss, ou en cloche, est enseignée en cours de probabilité. Elle a une forme peu intuitive, et je me suis demandé d’où elle venait. D’autant qu’immédiatement ensuite survient le théorème central limite, qui semble encore plus abstrait et tiré par les cheveux. A savoir que la somme de variables aléatoires indépendantes tend à ressembler à la dite loi. Ce qui donne lieu à une démonstration impeccable, accessible aux esprits d’exception.

En y regardant de près, j’ai cru comprendre que le cours est à l’envers de l’histoire. Tout à commencé par le théorème central limite. Et, alors que l’on vous fait avaler cela en 5 minutes chrono, il a fallu des siècles à nos plus illustres hommes pour mettre au point une théorie un peu solide. « de nombreux phénomènes sont dus à l’addition d’un grand nombre de petites perturbations aléatoires » dit wikipedia. La loi normale résulte d’une observation que n’importe qui peut faire. C’est l’addition de mesures d’une grandeur qui varie au hasard (ou de mesures susceptibles d’erreur). C’est de là que tout est parti.

Que serait l’éducation si l’on suivait l’histoire ? Pourquoi ne le fait-on pas ? Par idéologie, parce que l’on croit que ces lois sont « naturelles » ? Parce que notre enseignement ne forme pas, mais sélectionne, et que l’on pense que l’aptitude à l’abstraction est une qualité du décideur ?…

Wikipedia sur la question.

Qu’il est difficile, quand on est vieux, de se remettre aux mathématiques. D’autant plus qu’on les a étudiées. Car à la fois, elles semblent familières et inaccessibles. Après une retraite de plus de trois décennies, j’ai dû me re pencher sur la question. Je n’y ai toujours rien compris, mais j’ai peut-être compris pourquoi on n’y comprenait rien.

J’étais paumé par un vocabulaire abscons et des formules complexes, jusqu’à ce que je prenne mon courage à deux mains, et jette un coup d’oeil dans quelques livres. Qu’ai-je vu ? Des fondements de simple bon sens. Ce qui complique les choses est de passer de l’idée à un problème que l’on puisse résoudre et, de plus en plus, confier à la machine. Pour cela on empile des dizaines de concepts qui égarent rapidement l’homme ordinaire. On ne peut les absorber qu’en renonçant à son esprit critique.

Mais, ai-je découvert, le mathématicien patenté, lui, est heureux dans la formule. Du coup, il nous écrabouille sous elle. Mais, aussi, il perd de vue l’idée originelle. C’est ainsi que l’on peut le surprendre. Car, si l’on parvient à se ramener à cette idée sous jacente, tout son édifice complexe devient évident, voire s’écroule, parce qu’il n’avait pas perçu qu’il était bâti sur une impossibilité.

En fait, le vrai mathématicien est celui qui est capable de passer de la réalité à l’abstraction, et de revenir de celle-ci sur terre, avec des idées neuves. C’est un art de la créativité ?